内容简介 · Description
引言
遍历理论最初的问题产生于可微框架：能量流形上保持 Liouville 测度的光滑
流。Poincaré 最先引入了纯粹测度论的考虑。可微遍历理论和测度论遍历理论
都获得了长足发展，尤其是在 Kolmogorov 定义熵不变量之后。拓扑遍历理论
作为这两个领域之间的桥梁逐渐形成。它研究连续变换和不变 Borel 测度，其
起源可追溯到 Krylov--Bogoliubov 于 1937 年发表的一篇论文[127]。
本书试图综述紧空间上的拓扑遍历理论。为方便起见，假设底空间为度量
空间，变换为同胚。
每位作者在这一领域中都有自己的偏好和风格，这使得寻求统一处理方
式的尝试多少受到了一些妨碍。不过，我们希望读者仍能辨认出其中的“实
质”。
Krylov 和 Bogoliubov 证明，不变测度总是存在。如果只有一个不变测度，
系统就称为唯一遍历的。Jewett 和 Krieger 证明了这类系统的普遍性。在一般
情形下，可能通过某种变分原理选出一个不变测度。若能如此，就得到内蕴
遍历系统。Parry 和 Bowen 找到了这类系统的重要例子。本讲义将广泛讨论唯
一遍历系统和内蕴遍历系统。
尽管我们努力涵盖近期发表的成果，并将各个定理归于正确的研究者，仍
然意识到可能存在错误，并谨对 任何此类错误致歉。如果有人与本综述目标
密切相关的工作未得到应有的重视，我们也表示歉意；特别是，本书没有讨
论许多带有代数、组合、可微或其他结构的具体动力系统例子。
我们特别推荐两份参考文献：Walters 的讲义[185]是遍历理论的出色入门读
物；Bowen 的讲义[31]则深入研究了平衡态及一些重要可微动力系统类的遍历
理论。
我们从许多文献中借用了证明，尤其受益于 Bowen 和 Misiurewics 的工作。
还应指出，第 2 章从命题 2.17起的部分，以及第 9、13、26--31 章，均包含在
Grillenberger 的“教授资格论文”中，其中一些定理是他的成果。
最后，我们感谢 U. Krengel 的鼓励与支持。同样，我们感谢 M. Powell 女士
在准备手稿过程中所展现的出色技能与合作，并感谢 A. Achilles 在校对方面
给予的巨大帮助。
作者