数学分类说明

线性代数Linear Algebra

定位研究向量空间、线性映射与矩阵的代数结构与变换性质。

常见于高等代数、线性代数、矩阵论、多线性代数

典型内容向量空间、子空间、线性映射、矩阵、行列式、线性方程组、特征值与特征向量、Jordan 标准形、双线性型、二次型、张量积、外代数

归类边界若以有限维向量空间和矩阵的代数性质为核心，归本类；若以矩阵分解、误差分析与数值计算为核心，归数值线性代数；若以无限维空间及其上的算子为核心，归泛函分析与算子理论；若以李代数的线性表示为核心，归表示论与李理论。

抽象代数Abstract Algebra

定位研究群、环、域、模等代数系统及其同态、同构与扩张结构。

常见于近世代数、抽象代数、群论、环与域、Galois 理论

典型内容群、环、域、模、理想、商结构、群作用、Sylow 定理、有限群、可解群、整环、唯一分解整环、域扩张、Galois 群、有限域

归类边界若以群、环、域、模的基础代数结构为核心，归本类；若以素理想谱、局部化、维数理论为核心，归交换代数与代数几何；若以群和代数的线性表示为核心，归表示论与李理论；若以群的 Cayley 图与几何粗性质为核心，归几何群论。

交换代数与代数几何Commutative Algebra and Algebraic Geometry

定位研究交换环、代数簇与概形及其几何与上同调性质。

常见于交换代数、代数几何、概形论

典型内容交换环与模、素理想谱、局部化、Noether 环、维数理论、代数簇、概形、态射、除子、线丛、层、概形上同调、相交理论、模空间、双有理几何

归类边界若以代数簇、概形及交换环论为核心，归本类；若以复流形、Kähler 度量与 Hermitian 几何为核心，归复几何；若以代数簇在数域或有限域上的算术与点计数为核心，归代数数论与算术几何；若以同调代数通用框架与高阶范畴为核心，归同调代数与范畴论。

同调代数与范畴论Homological Algebra and Category Theory

定位研究范畴、函子、导出结构及抽象代数对象的同调不变量。

常见于同调代数、范畴论、导出范畴、高阶范畴论

典型内容范畴、函子、自然变换、伴随、极限与余极限、Abel 范畴、链复形、导出函子、Ext、Tor、谱序列、导出范畴、三角范畴、模型范畴、∞-范畴、operad、E_n-代数

归类边界若以一般谱序列、导出范畴、∞-范畴及同调代数抽象框架为核心，归本类；若以 Serre 谱序列等专门由拓扑空间纤维化产生的对象为核心，归代数拓扑；若以层上同调与导出代数几何为核心，归交换代数与代数几何。

表示论与李理论Representation Theory and Lie Theory

定位研究群、李代数及代数系统在向量空间上的线性实现与对称性结构。

常见于群表示论、李群与李代数、代数群、量子群

典型内容群表示、特征标、不可约表示、诱导表示、群代数、李群、李代数、根系、权、最高权表示、半单李代数、代数群、量子群、自守表示

归类边界若以群与代数的线性表示及根系、权等代数结构为核心，归本类；若以李群作为光滑流形的微分几何性质为核心，归微分流形与黎曼几何；若以自守形式的解析估计与 L-函数为核心，归初等数论与解析数论；若以几何 Langlands 的代数模空间为核心，归交换代数与代数几何。

初等数论与解析数论Elementary and Analytic Number Theory

定位利用初等算术方法与分析工具研究整数性质、素数分布与自守形式。

常见于初等数论、解析数论、模形式

典型内容整除性、同余、算术函数、连分数、素数定理、Dirichlet 级数、Riemann ζ 函数、Dirichlet L-函数、零点分布、筛法、圆法、指数和、模形式的解析理论

归类边界若以初等整除性、素数分布与模形式、L-函数的解析估计为核心，归本类；若以数域扩张、代数整数、局部域、Galois 表示及算术概形为核心，归代数数论与算术几何；若以一般全纯函数与解析延拓为核心，归复分析。

代数数论与算术几何Algebraic Number Theory and Arithmetic Geometry

定位利用代数与代数几何工具研究数域、局部域及其上的代数方程与几何对象。

常见于代数数论、局部域与类域论、算术几何、椭圆曲线

典型内容数域、代数整数、理想分解、分歧、赋值、局部域、类域论、Galois 表示、p-adic 分析、椭圆曲线、Abel 簇、有限域上的代数簇、算术概形、有理点、高度、étale 上同调、BSD 猜想

归类边界若以数域、局部域、代数整数及代数簇的算术性质与有理点为核心，归本类；若以模形式与 L-函数的纯解析估计为核心，归初等数论与解析数论；若以一般复代数几何为核心，归交换代数与代数几何。

经典几何Classical Geometry

定位研究欧氏空间、仿射空间与射影空间中的几何作图、图形性质与不变量。

常见于解析几何、射影几何、经典微分几何

典型内容欧氏几何、立体几何、解析几何、经典射影几何、仿射几何、圆锥曲线、二次曲面、欧氏与射影变换、交比、极点与极线、几何构型、几何不等式、尺规作图

归类边界若以经典欧氏、仿射、射影空间中的图形、构型与变换为核心，归本类；若以流形上的度量、曲率与联络为核心，归微分流形与黎曼几何；若以代数簇与概形为核心，归交换代数与代数几何；若以凸体、格点与多面体的现代离散理论为核心，归离散几何。

点集拓扑Point-set Topology

定位研究拓扑空间、连续性、紧致性与连通性等基本拓扑性质。

常见于点集拓扑、一般拓扑学

典型内容拓扑空间、开集与闭集、基与子基、连续映射、子空间、积空间、商空间、分离公理、紧致性、连通性、度量化定理、网、滤子、紧化

归类边界若以拓扑空间的一般点集结构与分离、紧致性质为核心，归本类；若涉及基本群、同调、同伦等代数不变量，归代数拓扑；若高度依赖大基数与公理独立性，归集合论。

代数拓扑Algebraic Topology

定位利用代数不变量（同伦群、同调与上同调）研究拓扑空间与连续映射的性质。

常见于代数拓扑、同伦论、同调论

典型内容基本群、覆盖空间、同伦、同伦群、奇异同调、胞腔同调、上同调、杯积、纤维丛、示性类、Serre 谱序列、稳定同伦论、广义上同调、拓扑 K-理论、谱（spectrum）、CW 复形

归类边界若以拓扑空间、同伦型、纤维化及 Serre 谱序列等空间几何对象为核心，归本类；若以抽象范畴论与一般同调代数框架为核心，归同调代数与范畴论；若以低维流形与纽结特有理论为核心，归几何拓扑与低维拓扑；若以代数 K-理论为核心，归代数与数论相应方向。

微分流形与黎曼几何Smooth Manifolds and Riemannian Geometry

定位研究光滑流形上的微分结构、张量场、黎曼度量与曲率几何。

常见于微分流形、黎曼几何、微分几何

典型内容光滑流形、切空间、余切空间、张量场、微分形式、向量场、Lie 导数、联络、测地线、黎曼度量、曲率张量、完备性、Jacobi 场、比较定理、Bochner 技术

归类边界若以度量、曲率、联络与测地线等几何性质为核心，归本类；若仅依赖光滑拓扑结构（如横截性、Morse 理论、配边）而不依赖度量，归微分拓扑；若以辛形式为核心，归辛几何与接触几何；若以复流形与 Kähler 度量为核心，归复几何。

微分拓扑Differential Topology

定位研究光滑流形的光滑拓扑性质、嵌入、横截性与分类结构。

常见于微分拓扑、Morse 理论

典型内容浸入与嵌入、横截性、映射度、Morse 函数、手柄分解、配边理论、光滑流形分类、微分结构、h-配边定理、向量丛拓扑

归类边界若以光滑流形的不变量与光滑拓扑结构为核心，归本类；若依赖黎曼度量、曲率与测地线分析，归微分流形与黎曼几何；若以三维流形、四维流形及纽结理论为核心，归几何拓扑与低维拓扑。

几何拓扑与低维拓扑Geometric Topology and Low-dimensional Topology

定位研究三维流形、四维流形、曲面及纽结的几何与拓扑结构。

常见于低维拓扑、几何拓扑、纽结理论

典型内容纽结与链环、纽结多项式、曲面拓扑、三维流形、四维流形、Heegaard 分解、Dehn 手术、双曲三维流形、结 Floer 同调、Seiberg–Witten 不变量、Donaldson 不变量

归类边界若以二维、三维、四维流形及纽结的专门几何拓扑为核心，归本类；若以一般维数代数拓扑为核心，归代数拓扑；若以一般高维双曲流形与黎曼几何为核心，归微分流形与黎曼几何。

辛几何与接触几何Symplectic and Contact Geometry

定位研究辛流形、接触流形及其上的几何结构与动力学不变量。

常见于辛几何、接触几何、Floer 同调

典型内容辛流形、辛形式、Hamilton 向量场、动量映射、辛约化、Lagrange 子流形、伪全纯曲线、Gromov 紧致性、Floer 同调、接触流形、Reeb 向量场

归类边界若以辛流形、辛形式与 Hamilton 向量场作为几何结构为核心，归本类；若以力学体系、正则方程与物理相空间模型为核心，归经典力学与可积系统；若以 Hamilton 动力系统的分岔与遍历性质为核心，归常微分方程与动力系统。

复几何Complex Geometry

定位研究复流形、复解析空间及 Kähler 流形上的度量与复微分几何。

常见于复流形、复几何、Kähler 几何

典型内容复流形、几乎复结构、Hermitian 度量、Kähler 流形、Dolbeault 上同调、Hodge 理论、复向量丛、Chern 类、解析簇、Calabi–Yau 流形

归类边界若以复流形、Kähler 度量与复微分几何为核心，归本类；若以平直复空间上的单复变与多复变函数论为核心，归复分析；若以代数簇、概形及代数模空间为核心，归交换代数与代数几何。

几何群论Geometric Group Theory

定位通过群在度量空间上的作用及 Cayley 图研究无限离散群的几何与拓扑性质。

常见于几何群论、双曲群

典型内容有限生成群、词度量、Cayley 图、拟等距、双曲群、CAT(0) 空间与群、群边界、增长级数、等周函数、Bass–Serre 理论、映射类群、Out(F_n)

归类边界若以群的度量性质、几何作用与渐近性质为核心，归本类；若以群的纯代数结构为核心，归抽象代数；若以群的线性表示为核心，归表示论与李理论。

微积分与经典分析Calculus and Classical Analysis

定位研究连续函数的微分、Riemann 积分、级数展开与经典分析不等式。

常见于数学分析、微积分、高等微积分

典型内容极限、连续性、一元微分、Riemann 积分、无穷级数、函数项级数、多元微分、重积分、曲线与曲面积分、隐函数定理、反函数定理、经典不等式

归类边界若以实数域上的经典微积分与连续函数极限为核心，归本类；若以 Lebesgue 测度、一般测度积分与 Lp 空间为核心，归实分析与测度论；若以流形上的微分形式与外微分为核心，归微分流形与黎曼几何；若以成体系的特殊函数理论为核心，归特殊函数与积分方程。

实分析与测度论Real Analysis and Measure Theory

定位研究测度空间、Lebesgue 积分、函数空间及几何测度论。

常见于实变函数、实分析、测度论

典型内容测度空间、可测函数、Lebesgue 测度、Lebesgue 积分、收敛定理、Radon 测度、Lp 空间、有界变差函数、绝对连续、极小曲面几何测度论、Hausdorff 测度与维数

归类边界若以 Hausdorff 测度、Hausdorff 维数及几何测度论框架为核心，归本类；若以 Julia 集、迭代动力系统中的分形结构为核心，归常微分方程与动力系统；若以 Sobolev 空间基础理论为核心，归本类；若以 Sobolev 空间在偏微分方程中的求解应用为核心，归偏微分方程；若以概率测度与随机变量为核心，归概率论基础。

复分析Complex Analysis

定位研究复平面与多复变数空间中全纯函数、亚纯函数及其映射性质。

常见于复变函数、单复变函数论、多复变函数论

典型内容全纯函数、Cauchy 积分定理、留数定理、亚纯函数、解析延拓、共形映射、Riemann 映射定理、整函数、值分布理论、多复变函数、拟凸性、多重次调和函数、Hartogs 现象

归类边界若以平直复空间中的全纯函数论与复分析方法为核心，归本类；若以复流形、Hermitian 与 Kähler 度量为核心，归复几何；若以 Riemann ζ 函数与 Dirichlet L-函数的数论性质为核心，归初等数论与解析数论。

泛函分析与算子理论Functional Analysis and Operator Theory

定位研究无限维线性空间、拓扑向量空间及其上的有界与无界算子理论。

常见于泛函分析、算子理论、算子代数

典型内容赋范空间、Banach 空间、Hilbert 空间、拓扑向量空间、有界线性算子、对偶空间、弱拓扑、Hahn–Banach 定理、开映射定理、闭图像定理、谱理论、紧算子、自伴算子、C* 代数、von Neumann 代数

归类边界若以有限维向量空间和矩阵代数性质为核心，归线性代数；若以无限维线性空间、算子谱理论与算子代数为核心，归本类；若以量子物理系统中的算子谱与散射为核心，归量子力学与算子方法。

调和分析与 Fourier 分析Harmonic Analysis and Fourier Analysis

定位研究函数的频率分解、Fourier 变换、奇异积分算子及函数空间估计。

常见于Fourier 分析、调和分析、小波分析

典型内容Fourier 级数、Fourier 变换、卷积、极大函数、Calderón–Zygmund 奇异积分、Littlewood–Paley 理论、BMO 空间、Hardy 空间、小波变换、群上的调和分析

归类边界若以函数空间的频率分解、奇异积分与振荡积分估计为核心，归本类；若以局部紧群上的调和分析为核心，归本类；若以群表示的纯代数分类为核心，归表示论与李理论；若以自守形式的解析谱理论为核心，归初等数论与解析数论。

常微分方程与动力系统ODEs and Dynamical Systems

定位研究常微分方程的解、定性性质、轨道几何以及动力系统的长期演化行为。

常见于常微分方程、动力系统、微分方程定性理论、遍历理论

典型内容存在唯一性定理、线性微分方程组、相平面、稳定性理论、Lyapunov 函数、极限环、Poincaré–Bendixson 定理、分岔理论、混沌、Julia 集与迭代系统分形、动力系统遍历理论、吸引子

归类边界若以 Julia 集与迭代系统产生的动力学分形为核心，归本类；若以 Hausdorff 测度与几何测度理论为核心，归实分析与测度论；若以 Hamilton 系统的力学模型为核心，归经典力学与可积系统；若以辛几何结构为核心，归辛几何与接触几何；若以偏微分方程生成的无限维动力系统为核心，归本类；若以偏微分方程解的存在性与正则性为核心，归偏微分方程。

偏微分方程Partial Differential Equations

定位研究多元偏微分方程解的存在性、唯一性、正则性及定性行为。

常见于偏微分方程、非线性偏微分方程

典型内容椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程、经典解、弱解、分布解、基本解、初边值问题、适定性、正则性理论、最大值原理、能量方法、Sobolev 空间嵌入应用、Navier–Stokes 方程解的理论、守恒律

归类边界若以 Navier–Stokes 等方程的解的存在性、唯一性、正则性与弱解理论为核心，归本类；若以连续介质流体力学模型、涡量与物理现象为核心，归连续介质与流体数学；若以微分方程离散差分与有限元数值求解为核心，归微分方程数值方法。

变分法与最优化Calculus of Variations and Optimization

定位研究泛函极值、Euler–Lagrange 方程、凸分析及无穷维优化理论。

常见于变分法、凸分析、最优化理论

典型内容Euler–Lagrange 方程、变分直接法、弱下半连续性、极小曲面方程、凸函数、凸集、Fenchel 对偶、Lagrange 对偶、KKT 最优性条件、无穷维优化、最优控制理论

归类边界若以变分结构、存在性、凸分析、对偶与最优性条件为核心，归本类；若以离散规划、运筹调度与管理决策模型为核心，归运筹、数学规划与决策；若以梯度法、内点法、收敛速度等数值迭代算法为核心，归计算优化。

特殊函数与积分方程Special Functions and Integral Equations

定位研究数学物理中出现的特殊函数族、积分变换与线性积分方程。

常见于特殊函数、数学物理方法、积分方程

典型内容Gamma 函数、Beta 函数、Bessel 函数、Legendre 函数、超几何函数、正交多项式、Laplace 变换、Mellin 变换、Fredholm 积分方程、Volterra 积分方程、奇异积分方程

归类边界若以具体特殊函数族、积分变换与积分方程求解为核心，归本类；若以泛函空间中抽象 Fredholm 算子谱理论为核心，归泛函分析与算子理论；若以 Riemann ζ 函数与数论 L-函数为核心，归初等数论与解析数论。

枚举组合与代数组合Enumerative and Algebraic Combinatorics

定位研究离散对象的计数公式、生成函数、代数组合结构及偏序集理论。

常见于组合数学、枚举组合学、代数组合学

典型内容排列组合、容斥原理、生成函数、递推关系、整数分拆、Young 表、对称多项式、Schur 函数、偏序集（poset）、格（lattice 作为序理论对象）、Möbius 反演、拟阵、关联方案

归类边界若以偏序集、序结构、格作为序理论对象及 Möbius 反演为核心，归本类；若以格点、晶格、凸多胞形等几何对象为核心，归离散几何；若以对称群的线性表示为核心，归表示论与李理论。

图论Graph Theory

定位研究图的顶点与边的结构、连通性、着色、谱性质与拓扑嵌入。

常见于图论、代数图论、网络图论

典型内容图与树、连通度、匹配理论、Hamilton 圈、Euler 路径、平面图、图着色、四色定理、图谱、邻接矩阵、图同态、网络流、Turan 定理

归类边界若以图的离散结构、组合性质与图不变量为核心，归本类；若以图算法的时间复杂度与复杂性分类为核心，归离散算法与计算复杂性；若以 Cayley 图与群的粗几何性质为核心，归几何群论。

极值与概率组合Extremal and Probabilistic Combinatorics

定位利用概率方法与极值分析研究离散结构的边界规模、Ramsey 现象与加法组合。

常见于极值组合学、概率方法、加法组合学

典型内容极值图论、超图极值问题、Ramsey 理论、Ramsey 数、概率方法、一阶二阶矩方法、Lovász 局部引理、Szemerédi 正则引理、和集、Freiman 定理、加法能量

归类边界若以离散结构的极值边界、随机构造与加法组合为核心，归本类；若以一般概率论与连续测度集中不等式为核心，归概率论基础；若以解析数论中的素数加性问题为核心，归初等数论与解析数论。

组合设计、编码与有限几何Designs, Coding and Finite Geometry

定位研究具有高度对称性的离散子集构型、纠错编码与有限代数几何结构。

常见于组合设计、编码理论、有限几何

典型内容区组设计、BIBD、Latin 方、Steiner 系统、Hadamard 矩阵、纠错码、线性码、BCH 码、Reed–Solomon 码、有限射影平面、有限仿射平面

归类边界若以纠错码代数组合构造、设计理论与有限几何为核心，归本类；若以信息熵、信道容量与率失真理论为核心，归信息论；若以连续信号采样与压缩感知为核心，归数学信号处理与稀疏恢复；若以抽象有限域代数理论为核心，归抽象代数。

离散几何Discrete Geometry

定位研究离散点集、凸多胞形、空间铺砌与晶格几何结构。

常见于离散几何、凸几何、多胞形理论

典型内容凸集、凸包、凸多胞形、多面体骨架、Euler 示性数、格点几何、Minkowski 凸体定理、空间铺砌、装箱与覆盖、Helly 定理、Carathéodory 定理、Voronoi 胞腔

归类边界若以格点、晶格、凸体与多胞形等几何对象为核心，归本类；若以偏序集、序理论中的格（lattice）与代数组合为核心，归枚举组合与代数组合；若以连续空间的微分几何为核心，归微分流形与黎曼几何；若以几何算法及其复杂度为核心，归计算几何与计算拓扑。

离散算法与计算复杂性Discrete Algorithms and Computational Complexity

定位研究离散问题的算法设计、数学分析、下界证明与计算复杂性分类。

常见于算法设计与分析、计算复杂性理论、组合优化算法

典型内容图算法分析、动态规划理论、贪心算法、近似算法、在线算法、P 与 NP 问题、NP 完全性、规约、空间复杂性、线路复杂性、随机算法复杂性

归类边界若以离散算法的数学分析与复杂性理论为核心，归本类；纯工程实现与软件开发不收；若以连续变量的数值迭代算法为核心，归计算数学相应方向。

集合论Set Theory

定位研究集合宇宙公理系统、无穷基数与序数、力迫法及描述集合论。

常见于公理集合论、描述集合论

典型内容ZFC 公理系统、序数、基数、选择公理、基数算术、连续统假设、大基数、力迫法、内模型理论、Borel 层次、解析集、射影集

归类边界若以公理集合论、无限基数与集合论拓扑为核心，归本类；若以一般点集拓扑性质为核心，归点集拓扑；若以类型系统与构造性数学基础为核心，归类型论与数学基础。

模型论Model Theory

定位研究一阶形式语言、数学结构与语法语义关系的理论。

常见于模型论、稳定性理论

典型内容形式语言、结构、理论、初等等价、紧致性定理、Löwenheim–Skolem 定理、量词消去、型（type）、稳定性理论、范畴性、超积、o-minimal 结构

归类边界若以模型论语法—语义结构与模型分类为核心，归本类；若以具体代数系统中的代数性质为核心，归代数相应方向；若以证明系统与演绎定理为核心，归证明论与形式系统。

证明论与形式系统Proof Theory and Formal Systems

定位研究形式证明的句法结构、演绎系统、一致性与不完全性定理。

常见于数理逻辑、证明论

典型内容命题逻辑、一阶逻辑、相继式演算、自然演绎、Hilbert 演绎系统、可靠性定理、完全性定理、Gödel 不完全性定理、Gentzen 割消定理、序数分析、直觉主义逻辑

归类边界若以证明句法系统、一致性强度与不完全性为核心，归本类；若以语义模型理论为核心，归模型论；若以可计算性与递归函数为核心，归递归论与可计算性；若以类型论与形式化验证为核心，归类型论与数学基础。

递归论与可计算性Recursion Theory and Computability

定位研究形式可计算函数、图灵度、算术层级与算法不可判定性。

常见于可计算性理论、递归论

典型内容图灵机、递归函数、可枚举集、停机问题、不可判定性、Turing 度、多项式规约、算术层级、超算术层级、相对可计算性

归类边界若以逻辑可计算性定义与不可判定性为核心，归本类；若以多项式时间与具体算法复杂度类为核心，归离散算法与计算复杂性。

类型论与数学基础Type Theory and Foundations

定位研究类型系统、λ 演算、Curry–Howard 对应及构造性数学基础理论。

常见于类型论、范畴逻辑、形式化数学

典型内容λ 演算、简单类型论、依赖类型论、Martin-Löf 类型论、Curry–Howard 对应、同伦类型论基础、构造性数学、形式化证明系统基础

归类边界若以类型系统与形式化数学逻辑基础为核心，归本类；若以抽象范畴论与高阶范畴代数为核心，归同调代数与范畴论；若以同伦类型论中的纯几何拓扑同伦对象为核心，归代数拓扑。

概率论基础Foundations of Probability

定位研究概率空间、随机变量、概率测度收敛性与极限定理。

常见于概率论、测度概率论、高等概率论

典型内容概率空间、随机变量、分布函数、特征函数、条件期望、独立性、大数定律、中心极限定理、大偏差原理、集中不等式

归类边界若以概率测度与随机变量极限理论为核心，归本类；若以一般测度论与分析积分理论为核心，归实分析与测度论；若以含时间参数演化的随机变量族为核心，归随机过程与随机分析。

随机过程与随机分析Stochastic Processes and Stochastic Analysis

定位研究含时随机过程、鞅论、随机微积分及随机微分方程。

常见于随机过程、随机分析、随机微分方程

典型内容Markov 链、Markov 过程、Poisson 过程、Brown 运动、鞅论、停时、Itô 积分、随机微分方程（SDE）、扩散过程、Lévy 过程、随机矩阵极限定理

归类边界若以随机演化过程与随机微积分为核心，归本类；若以确定性常微分方程与动力系统为核心，归常微分方程与动力系统；若以随机微分方程的数值算法为核心，归随机数值方法；若随机矩阵用于高维统计推断，归统计学习理论，若作为随机测度极限定理，归本类。

数理统计Mathematical Statistics

定位研究基于样本数据进行参数估计、假设检验与统计推断的理论。

常见于数理统计、高等数理统计、统计推断

典型内容抽样分布、充分统计量、点估计、一致最小方差无偏估计、极大似然估计、置信区间、假设检验、Neyman–Pearson 引理、渐近统计、非参数检验、Bayes 推断

归类边界若以统计推断与样本估计理论为核心，归本类；若以纯概率分布的数学性质为核心，归概率论基础；若以线性回归与多元分析模型为核心，归回归、多元统计与时间序列。

回归、多元统计与时间序列Regression, Multivariate Statistics and Time Series

定位研究多元数据建模、线性与非线性回归分析及时间序列预测理论。

常见于回归分析、多元统计分析、时间序列分析

典型内容线性回归模型、广义线性模型、方差分析、主成分分析（PCA）、因子分析、判别分析、聚类分析、ARMA 模型、GARCH 模型、状态空间模型、平稳时间序列

归类边界若以多元观测模型、回归与时间序列推断为核心，归本类；若以机器学习高维泛化界与核方法理论为核心，归统计学习理论；若以纯数值优化算法为核心，归计算优化。

统计学习理论Statistical Learning Theory

定位研究机器学习模型的泛化误差、经验风险最小化、高维统计与学习算法理论界。

常见于统计学习理论、机器学习理论、高维统计

典型内容经验风险最小化、泛化误差界、VC 维、Rademacher 复杂度、再生核 Hilbert 空间（RKHS）、正则化方法、高维统计估计、稀疏性恢复统计界、PAC 学习理论

归类边界若以机器学习的统计泛化理论与高维统计为核心，归本类；若以偏微分方程与算子机器学习为核心，归科学机器学习；工程软件与模型部署不收。

信息论Information Theory

定位研究信息量度量、信源编码、信道容量与率失真理论极限。

常见于信息论、编码定理

典型内容Shannon 熵、联合熵、互信息、Kullback–Leibler 散度、信源编码定理、信道容量、信道编码定理、率失真理论、微分熵、信息不等式

归类边界若以熵、互信息、信道容量与率失真理论为核心，归本类；若以纠错码的具体代数组合构造为核心，归组合设计、编码与有限几何；若以连续信号采样与压缩感知为核心，归数学信号处理与稀疏恢复；若以量子体系中的信息量度量为核心，归量子信息与量子计算。

经典力学与可积系统Classical Mechanics and Integrable Systems

定位研究力学系统、正则方程、作用量原理及经典可积动力系统的数学结构。

常见于经典力学、分析力学、可积系统

典型内容Lagrange 力学、Hamilton 力学、作用量原理、正则方程、Poisson 括号、Noether 定理、Lax 对、完全可积系统、KdV 方程、孤立子理论

归类边界若以力学体系、作用量、正则方程与可积物理模型为核心，归本类；若以辛流形与辛形式的抽象微分几何为核心，归辛几何与接触几何；若以纯动力系统的分岔与遍历理论为核心，归常微分方程与动力系统。

量子力学与算子方法Quantum Mechanics and Operator Methods

定位研究量子态空间、Schrödinger 算子谱性质与量子散射理论。

常见于量子力学的数学基础、量子物理导论

典型内容Hilbert 空间量子态、可观测量自伴算子、Schrödinger 算子、谱分解、量子测量、海森堡不确定性、散射理论、几何相位、量子化方法

归类边界若以由量子物理模型产生的算子谱与散射理论为核心，归本类；若以纯数学中抽象泛函空间与算子代数为核心，归泛函分析与算子理论；若以量子信息与量子纠缠理论为核心，归量子信息与量子计算。

统计力学Statistical Mechanics

定位研究多粒子系综、相变与临界现象的严格数学统计模型。

常见于统计力学、统计物理数学基础

典型内容微正则系综、正则系综、配分函数、热力学极限、Gibbs 测度、Ising 模型、相变理论、临界指数、渗流模型、重整化群数学框架

归类边界若以粒子系统平衡态、配分函数与相变为核心，归本类；若以一般随机过程与鞅论为核心，归随机过程与随机分析。

相对论与几何物理Relativity and Geometric Physics

定位研究时空流形、Einstein 引力场方程及其几何与因果结构。

常见于广义相对论、狭义相对论、时空几何

典型内容Lorentz 度量、Minkowski 时空、Einstein 引力场方程、能量动量张量、Schwarzschild 解、因果结构、奇点定理、黑洞热力学、引力波模型、ADM 形式

归类边界若以物理时空与引力场方程为核心，归本类；若以纯数学中的半黎曼几何与比较定理为核心，归微分流形与黎曼几何。

量子场论与规范理论Quantum Field Theory and Gauge Theory

定位研究无限维自由度量子系统、路径积分、规范场论与重整化数学结构。

常见于量子场论、规范场论

典型内容自由场与相互作用场、路径积分形式、Feynman 规则、规范不变性、Yang–Mills 方程、自对偶联络、反常、重整化群、拓扑量子场论（TQFT）

归类边界若以物理场论与规范场方程为核心，归本类；若以微分流形上的主丛联络几何为核心，归微分流形与黎曼几何；若以规范场论产生的四维流形拓扑不变量为核心，归几何拓扑与低维拓扑。

弦理论、共形场论与量子引力String Theory, CFT and Quantum Gravity

定位研究共形不变场论、超弦世界面几何、全息对偶与量子引力模型。

常见于弦理论、共形场论

典型内容二维共形场论、Virasoro 代数、模不变性、弦世界面理论、超对称、D-膜、AdS/CFT 对偶、圈量子引力、非微扰弦理论

归类边界若以超弦与物理对偶模型为核心，归本类；若以镜像对称中的纯代数几何为核心，归交换代数与代数几何；若以镜像对称中的纯辛几何为核心，归辛几何与接触几何。

量子信息与量子计算Quantum Information and Quantum Computation

定位研究量子态纠缠、量子信道、量子逻辑门与量子算法理论。

常见于量子信息、量子计算

典型内容量子比特、密度矩阵、量子纠缠度量、量子操作与信道、von Neumann 熵、Shor 算法、Grover 算法、量子纠错码、容错量子计算

归类边界若以量子体系中的信息、纠缠与量子算法为核心，归本类；若以经典信息论为核心，归信息论；若以经典离散复杂性理论为核心，归离散算法与计算复杂性。

数学建模与尺度方法Mathematical Modeling and Scaling

定位研究物理与工程系统的无量纲化、量纲分析、渐近展开与多尺度建模。

常见于数学建模、渐近方法、摄动理论

典型内容量纲分析、无量纲化、标度律、正则摄动、奇异摄动、匹配渐近展开、WKB 方法、边界层理论、均匀化方法、降阶建模

归类边界若以数学建模方法、尺度极限与渐近展开分析为核心，归本类；纯工程设计与软件操作不收。

连续介质与流体数学Continuum Mechanics and Mathematical Fluid Dynamics

定位研究流体、弹性体等连续介质的力学建模、守恒律与波动现象。

常见于连续介质力学、流体力学数学理论、弹性力学

典型内容应力应变张量、守恒律方程、Navier–Stokes 流体模型、Euler 方程、涡量动力学、波动与激波、Rankine–Hugoniot 条件、界面动力学、弹性力学方程

归类边界若以连续介质流体模型、涡量与力学物理机制为核心，归本类；若以 Navier–Stokes 解的存在性、唯一性与正则性理论为核心，归偏微分方程；若以流体方程的离散网格求解为核心，归微分方程数值方法。

控制论与系统理论Control Theory and Mathematical Systems

定位研究动力系统的可控性、可观测性、反馈稳定性与最优控制律。

常见于控制理论、线性系统理论、最优控制

典型内容状态空间模型、可控性、可观测性、Kalman 滤波、Lyapunov 稳定性、反馈控制、Pontryagin 最大值原理、Riccati 方程、H∞ 控制、分布参数控制

归类边界若以控制系统数学模型与控制律证明为核心，归本类；若以变分法与纯数学中的无穷维极值为核心，归变分法与最优化；硬件电路与工程调试不收。

反问题与数学成像Inverse Problems and Mathematical Imaging

定位研究由观测数据反演系统参数的不适定问题、正则化理论与成像重建。

常见于反问题、数学成像

典型内容不适定问题、Hadamard 条件、Tikhonov 正则化、逆散射问题、参数辨识、Radon 变换、计算机断层成像（CT 重建）、图像去噪与去模糊、相位恢复

归类边界若以参数反演、正则化理论与成像算子数学性质为核心，归本类；硬件设备与医学临床操作不收。

运筹、数学规划与决策Operations Research, Mathematical Programming and Decision Theory

定位研究决策优化、离散规划、排队系统、调度与运筹策略理论。

常见于运筹学、数学规划、排队论、决策论

典型内容线性规划（LP）、整数规划（IP）、混合整数规划（MIP）、动态规划、网络流、排队论、调度理论、随机规划、鲁棒优化、博弈论决策模型、多准则决策

归类边界若以数学规划模型、运筹调度、排队系统与决策理论为核心，归本类；若以泛函变分与纯凸分析基础理论为核心，归变分法与最优化；若以梯度下降、内点法等连续数值求解算法为核心，归计算优化。

数学生物学Mathematical Biology

定位研究种群动态、流行病传播、神经电活动与生物系统的数学模型。

常见于数学生物学、生物数学模型

典型内容Lotka–Volterra 种群模型、流行病 SIR 模型、Hodgkin–Huxley 神经元方程、反应扩散图灵斑图、基因调控网络、系统生物学动力学、生物统计模型

归类边界若以生物现象的数学建模与动力学分析为核心，归本类；生物学实验与临床医学不收。

金融、保险与经济数学Financial, Actuarial and Economic Mathematics

定位研究资产定价、风险度量、保险精算模型与数理经济均衡理论。

常见于金融数学、精算数学、数理经济学

典型内容Black–Scholes 模型、无套利定价、衍生品定价、风险价值（VaR）、投资组合选择、破产概率、生命表与精算模型、一般均衡理论、机制设计

归类边界若以具有严格数学模型、随机分析或优化结构的金融经济理论为核心，归本类；日常会计账目与金融营销不收。

网络与复杂系统Networks, Complex Systems and Collective Dynamics

定位研究复杂网络拓扑、集体同步、群体涌现与多智能体动力学。

常见于复杂网络、非线性科学、复杂系统理论

典型内容小世界网络、无标度网络、网络相干性、Kuramoto 同步模型、群体动力学、自组织与涌现、传播动力学、平均场极限、多智能体协同

归类边界若以网络拓扑动力学与复杂系统数学结构为核心，归本类；若以纯图论组合结构为核心，归图论；计算机网络协议与运维不收。

数学信号处理与稀疏恢复Mathematical Signal Processing and Sparse Recovery

定位研究连续与离散信号的数学采样理论、稀疏表示与压缩感知恢复算法。

常见于现代信号处理数学基础、压缩感知、采样理论

典型内容Shannon–Nyquist 采样定理、带限信号、过采样、稀疏表示、压缩感知（CS）、有限等距性质（RIP）、基追踪、l1 范数最小化恢复、相位恢复算法、矩阵补全数学理论

归类边界若以采样、稀疏恢复、压缩感知与信号重构的数学理论为核心，归本类；若以信息熵、信道容量与率失真理论为核心，归信息论；若以纠错码与线性码代数组合构造为核心，归组合设计、编码与有限几何；音频硬件与通信协议不收。

数值分析基础Foundations of Numerical Analysis

定位研究浮点运算、误差传播、条件数与数值计算的基本理论。

常见于数值分析、计算方法

典型内容浮点数算术、舍入误差、截断误差、条件数、向前与向后误差分析、数值稳定性、数值渐近阶、收敛阶分析

归类边界若以通用数值误差传播与计算基础理论为核心，归本类；若以具体矩阵算法为核心，归数值线性代数；若以特定方程求解格式为核心，归微分方程数值方法。

数值线性代数Numerical Linear Algebra

定位研究大规模线性方程组、矩阵分解与特征值问题的数值求解算法。

常见于数值线性代数、矩阵计算

典型内容LU 分解、QR 分解、Cholesky 分解、奇异值分解（SVD）、Krylov 子空间方法、共轭梯度法（CG）、GMRES 方法、特征值数值算法、预条件子技术、稀疏矩阵存储与求解

归类边界若以矩阵数值分解、迭代算法与数值稳定性为核心，归本类；若以有限维矩阵纯代数性质与变换为核心，归线性代数。

逼近、插值与数值积分Approximation, Interpolation and Numerical Quadrature

定位研究连续函数的数值插值、多项式逼近、样条构造与数值积分公式。

常见于数值逼近、数值积分

典型内容Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值、样条插值、Chebyshev 最佳逼近、正交多项式数值计算、Gauss 积分公式、自适应数值积分、高维数值求积

归类边界若以离散节点构造、插值算法与数值积分为核心，归本类；若以函数空间中的逼近定理与实分析为核心，归实分析与测度论或微积分与经典分析。

微分方程数值方法Numerical Methods for Differential Equations

定位研究常微分方程与偏微分方程的离散格式、有限元、有限差分与稳定性分析。

常见于微分方程数值解、有限元方法、有限差分方法

典型内容Runge–Kutta 方法、多步法、刚性方程求解、有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）、有限体积法（FVM）、间断 Galerkin 方法、谱方法、Lax 等价定理、CFL 条件、多重网格法

归类边界若以微分方程离散格式、网格划分与数值稳定性为核心，归本类；若以微分方程解的存在性与适定性理论为核心，归偏微分方程或常微分方程与动力系统。

计算优化Computational Optimization

定位研究连续优化问题的数值迭代算法、步长准则与收敛速度理论。

常见于数值优化、最优化算法

典型内容梯度下降法、Newton 法、拟 Newton 法（BFGS）、线搜索准则、信赖域方法、近端梯度法（Proximal）、分裂算法（ADMM）、内点法、次梯度法、随机梯度下降（SGD）、收敛速度分析

归类边界若以数值迭代算法、收敛阶与步长设计为核心，归本类；若以泛函极值与凸分析最优性理论为核心，归变分法与最优化；若以离散规划与运筹调度为核心，归运筹、数学规划与决策。

随机数值方法Stochastic Numerical Methods

定位研究 Monte Carlo 采样、随机微分方程数值模拟与不确定性量化方法。

常见于Monte Carlo 方法、随机模拟、不确定性量化

典型内容Monte Carlo 积分、拟 Monte Carlo（QMC）、重要性采样、MCMC 算法、随机微分方程数值解法（Euler–Maruyama）、多层 Monte Carlo（MLMC）、多项式混沌展开、不确定性量化（UQ）

归类边界若以随机采样求积分、数值模拟与不确定性量化为核心，归本类；若以随机过程数学理论为核心，归随机过程与随机分析。

符号计算与计算机代数Symbolic Computation and Computer Algebra

定位研究代数多项式、微分代数及符号微积分的精确离散算法。

常见于符号计算、计算机代数

典型内容多项式最大公因式算法、Buchberger 算法、Gröbner 基计算、符号消元、结式、Risch 符号积分算法、Gosper 符号求和、精确线性代数、特征列方法

归类边界若以符号精确算法与 Gröbner 基计算为核心，归本类；若以 Gröbner 基的纯代数几何定义为核心，归交换代数与代数几何。

可靠计算与计算机辅助证明Validated Numerics and Reliable Computing

定位研究区间算术、后验误差控制与数学定理的计算机辅助严格验证。

常见于区间分析、可靠计算

典型内容区间算术、包络法、后验误差验证、解的存在唯一性数值证明、计算机辅助证明系统数值部分、严格特征值包络、浮点定向舍入控制

归类边界若以严格误差界与计算机辅助数值证明为核心，归本类；若以一般近似数值计算为核心，归相应数值计算方向。

计算几何与计算拓扑Computational Geometry and Topology

定位研究几何剖分、Delaunay 三角网与持续同调的离散算法。

常见于计算几何、计算拓扑

典型内容平面点集凸包算法、Delaunay 三角剖分、Voronoi 图构造、网格剖分、曲面重建算法、持续同调（Persistent Homology）约化算法、条形码计算

归类边界若以几何与拓扑对象的离散算法与数据结构为核心，归本类；若以凸多胞形与格点的数学性质为核心，归离散几何；若以持续同调的代数拓扑理论为核心，归代数拓扑。

科学机器学习Scientific Machine Learning

定位研究物理信息神经网络（PINN）、神经算子与科学微分方程的机器学习求解理论。

常见于科学机器学习、神经算子方法

典型内容物理信息神经网络（PINN）、Fourier 神经算子（FNO）、DeepONet、神经微分方程（Neural ODE）、数据驱动动力系统辨识（SINDy）、算子逼近定理、损失函数泛化误差

归类边界若以微分方程与物理算子的机器学习逼近为核心，归本类；若以通用机器学习统计泛化理论为核心，归统计学习理论；工程部署与软件开发不收。