内容简介 · Description
本书的写作源于笔者参加一系列学术讲习班时的体会，在涉及微分分次范畴、李代数形变理论和导出代数几何的讨论中，笔者逐渐认识到，要真正理解这些现代数学的前沿领域，终究还是需要掌握无穷范畴的语言。具体来说，当处理高阶导出信息时，传统的链复形语言常常难以完整地传递高阶同伦融贯性；而无穷范畴恰恰为此提供了合适的框架，基于这一认识，笔者决定系统学习无穷范畴理论。
在学习路线上，笔者曾面临两难：是采用模型无关的公理化路径（综合范畴论），还是立足于具体模型，通过组合计算获取直观？尽管当代文献中不乏主张前者之声，认为公理化处理更为本质且简洁，但笔者最终选择了后者——从具体模型出发，循序渐进地构建理论，理由在于：对于初学者而言，具体的模型提供了可操作的计算对象，使得抽象的概念能够落在纸面上。在众多的模型中，单纯集给出的拟范畴模型可能是最具体、最便于手工计算的。因此，在众多参考文献中，Jacob Lurie 的 Kerodon 是一部绕不开的著作，然而，该书的叙述极为紧凑，许多深刻的结论往往以remark、example、exercise乃至“显然”或“容易证明”一笔带过，对于初学者而言，这些省略之处常常需要大量的补充论证和几何直观才能填补，本书即是笔者在研读过程中，记录并整理这些“缺失环节”的笔记。
本书并非对 Kerodon 逻辑体系的重构——那既不可能也无必要——而是按照笔者易于理解的方式对原书内容进行重新表述，具体来说，我们做了以下工作：
针对原书省略的论证步骤、未予证明的命题以及习题，本书均补充完整证明。书中每条引理与命题的证明均可逐步回溯，读者不必直接接受现成结论；对部分命题，还提供了多角度的证明。
我们为每个抽象的构造配上了相应的交换图，将态射作用在具体的 $n$-单形上时，原本晦涩的定义会呈现出更为具体的几何意义。
单纯集具有较为具体的组合结构，通过计算低维单形的实例，可以直观地感受许多抽象定理的效果，我们会首先通过元素追踪的方式进行直观理解，以揭示态射的转化以及信息在各层之间的传递过程的几何直观，然后通过范畴化推导使一些意识流证明趋于严谨。
本书严格遵循 Kerodon 的章节架构，并尽可能保留原书的编号，如果读者在阅读原书时遇到逻辑断层或难以理解的定义，希望本书能提供一定的辅助，需要说明的是，这些笔记记录了笔者在当下对这门语言的理解，其中可能存在不准确甚至误读之处，恳请读者批评指正，可通过邮箱[email protected]共同探讨交流。
在学习路线上，笔者曾面临两难：是采用模型无关的公理化路径（综合范畴论），还是立足于具体模型，通过组合计算获取直观？尽管当代文献中不乏主张前者之声，认为公理化处理更为本质且简洁，但笔者最终选择了后者——从具体模型出发，循序渐进地构建理论，理由在于：对于初学者而言，具体的模型提供了可操作的计算对象，使得抽象的概念能够落在纸面上。在众多的模型中，单纯集给出的拟范畴模型可能是最具体、最便于手工计算的。因此，在众多参考文献中，Jacob Lurie 的 Kerodon 是一部绕不开的著作，然而，该书的叙述极为紧凑，许多深刻的结论往往以remark、example、exercise乃至“显然”或“容易证明”一笔带过，对于初学者而言，这些省略之处常常需要大量的补充论证和几何直观才能填补，本书即是笔者在研读过程中，记录并整理这些“缺失环节”的笔记。
本书并非对 Kerodon 逻辑体系的重构——那既不可能也无必要——而是按照笔者易于理解的方式对原书内容进行重新表述，具体来说，我们做了以下工作：
针对原书省略的论证步骤、未予证明的命题以及习题，本书均补充完整证明。书中每条引理与命题的证明均可逐步回溯，读者不必直接接受现成结论；对部分命题，还提供了多角度的证明。
我们为每个抽象的构造配上了相应的交换图，将态射作用在具体的 $n$-单形上时，原本晦涩的定义会呈现出更为具体的几何意义。
单纯集具有较为具体的组合结构，通过计算低维单形的实例，可以直观地感受许多抽象定理的效果，我们会首先通过元素追踪的方式进行直观理解，以揭示态射的转化以及信息在各层之间的传递过程的几何直观，然后通过范畴化推导使一些意识流证明趋于严谨。
本书严格遵循 Kerodon 的章节架构，并尽可能保留原书的编号，如果读者在阅读原书时遇到逻辑断层或难以理解的定义，希望本书能提供一定的辅助，需要说明的是，这些笔记记录了笔者在当下对这门语言的理解，其中可能存在不准确甚至误读之处，恳请读者批评指正，可通过邮箱[email protected]共同探讨交流。
