group action

《代数学引论》 · 第 73 页

如果给了一个映射 $f\colon G\times X\to X$，适合条件……那么我们就说，$f$ 决定了群 $G$ 在集合 $X$ 上的作用。

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《Algebra》 · 第 88 页 · Chapter II，Section 4「The Action of a Group on a Set」，Definition 4.1

An action of a group $G$ on a set $S$ is a function $G\times S\to S$ (usually denoted by $(g,x)\mapsto gx$) such that for all $x\in S$ and $g_1,g_2\in G$: $ex=x$ and $(g_1g_2)x=g_1(g_2x)$. When such an action is given, we say that $G$ acts on the set $S$.