Poincaré duality

《同调论》 · 第 208 页 · 定理 2.5（Poincaré 对偶定理）

设 $M$ 是有向的 $n$ 维流形，则 (1) 我们构作一个同构 $D\colon H^q(M)\to H_{n-q}(M)$。

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《Algebraic Topology》 · 第 241 页 · Theorem 3.30

If \(M\) is a closed \(R\)-orientable \(n\)-manifold with fundamental class \([M]\), then \(D:H^k(M;R)\to H_{n-k}(M;R)\), \(D(\alpha)=[M]\mathbin{\frown}\alpha\), is an isomorphism for all \(k\).