group

《代数学引论》 · 第 23 页 · 定义 2

设 $G$ 是一个非空集合，如果在 $G$ 上定义了一个代数运算，称为乘法，记作 $ab$（或称为加法，记作 $a+b$），而且它适合以下条件，那么 $G$ 称为一个群：1）对于 $G$ 中任意元素 $a,b,c$ 有 $a(bc)=(ab)c$（结合律）；2）在 $G$ 中有一个元素 $e$，它对 $G$ 中任意元素 $a$ 有 $ea=a$；3）对于 $G$ 中任一元素 $a$ 都存在 $G$ 中一个元素 $b$ 使 $ba=e$。

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《Abstract Algebra》 · 第 16-17 页 · Section 1.1「Basic Axioms and Examples」，Definition

A group is an ordered pair $(G,*)$ where $G$ is a set and $*$ is a binary operation on $G$ satisfying the following axioms: (i) $(a*b)*c=a*(b*c)$, for all $a,b,c\in G$, i.e., $*$ is associative, (ii) there exists an element $e$ in $G$, called an identity of $G$, such that for all $a\in G$ we have $a*e=e*a=a$, (iii) for each $a\in G$ there is an element $a^{-1}$ of $G$, called an inverse of $a$, such that $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$.