ring homomorphism

《近世代数》 · 第 110 页

设 $R$ 和 $R'$ 都是环，如果 $R$ 到 $R'$ 有一个映射 $\sigma$，使得 $\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)$，$\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$，$\sigma(1)=1'$，其中 $1$ 和 $1'$ 分别是环 $R$ 和 $R'$ 的单位元，那么称 $\sigma$ 是 $R$ 到 $R'$ 的一个环同态。

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《Abstract Algebra》 · 第 239 页 · Section 7.3「Ring Homomorphisms and Quotient Rings」，Definition

A ring homomorphism is a map $\varphi:R\to S$ satisfying (i) $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$ for all $a,b\in R$ (so $\varphi$ is a group homomorphism on the additive groups) and (ii) $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ for all $a,b\in R$.