Euclidean domain

《代数学引论》 · 第 138 页

如果存在 $R$ 的乘法半群 $R^*=R-\{0\}$ 到自然数系 $\mathbb N$ 的一个函数 $d(x)$，使得对于任一对元素 $a,b\in R$，$b\neq 0$，存在一对元素 $q$ 和 $r$ 满足 $a=qb+r$，其中 $r=0$ 或 $r\neq 0$ 但 $d(r)<d(b)$，则 $R$ 叫做一个欧几里得整环。

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《Abstract Algebra》 · 第 270 页 · Section 8.1「Euclidean Domains」，Definitions

Any function $N:R\to\mathbb Z^+\cup\{0\}$ with $N(0)=0$ is called a norm on the integral domain $R$. […] The integral domain $R$ is said to be a Euclidean Domain (or possess a Division Algorithm) if there is a norm $N$ on $R$ such that for any two elements $a$ and $b$ of $R$ with $b\ne0$ there exist elements $q$ and $r$ in $R$ with $a=qb+r$ with $r=0$ or $N(r)<N(b)$.