monoid

《代数学引论》 · 第 90–91 页 · 定义 6

设 $S$ 是一非空集合，如果在 $S$ 上定义了一个二元运算，记为 $ab$（读作乘法），它适合条件：1）$a(bc)=(ab)c$（结合律），$a,b,c\in S$；2）在 $S$ 中有一元素 $e$ 具有性质 $ea=ae=a$，对所有的 $a\in S$；那么 $S$ 就称为一幺半群。

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《Algebra》 · 第 24 页 · Chapter I，Section 1「Semigroups, Monoids and Groups」，Definition 1.1

Definition 1.1. A semigroup is a nonempty set $G$ together with a binary operation on $G$ which is (i) associative: $a(bc)=(ab)c$ for all $a,b,c\in G$; a monoid is a semigroup $G$ which contains a (ii) (two-sided) identity element $e\in G$ such that $ae=ea=a$ for all $a\in G$.